Question

已知一元二次方程x²-x-1=0的两根是a、b ，设s₁=a+b ，s₂=a²+b²，……，sⁿ=aⁿ+b ⁿ（n为自然数）
（1）计算：s₁=________；s₂=________；　　　　　
                　s₃=________；s₄=________；　　　　　
                　s₅=________；s₆=________．　　
（2）你能从中发现什么规律？（即如何用s_n-1和s_n-2来表示s_n）并用你所学知识加以说明． 　
（3）利用得出的结论计算()⁷+()⁷

Answer 1

（1）s₁=1；　s₂=3；s₃=4；s₄=7；s₅=11；s₆=18；
（2）s_n=s_n-1+s_n-2 　
  　(a^n-1+b ^n-1)(a+b )=aⁿ+b ⁿ+ab ^n-1+b a^n-1 　　　　　　　　　　
                              =aⁿ+b ⁿ+ab (a^n-2+b ^n-2) 　
  　∵　a+b =1，ab =-1 　　
     ∴　a^n-1+b ^n-1=aⁿ+b ⁿ-（a^n-2+b ^n-2） 　
（3）a⁷+b ⁷=18+11=29