题目内容
（2004•呼和浩特）如图，MN切⊙O于P，AB是⊙O的弦，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，PQ⊥AB于Q．求证：PQ2=AM•BN．
分析：连接AP，BP欲证题中结论，只需证
=
，而要证此式，必须借助于第三个比即中间比．由△PAM∽△BPQ可得
=
，再由△PBN∽△APQ可得
=
，进而证明PQ2=AM•BN．
| PQ |
| AM |
| BN |
| PQ |
| PQ |
| AM |
| PB |
| PA |
| PB |
| PA |
| BN |
| PQ |
解答：
证明：连接AP，BP，
∵AM⊥MN于M，PQ⊥AB于Q．
∴∠AMP=∠PQB=90°，
∵∠1=∠2，
∴△PAM∽△BPQ，
∴
=
，
同理可得：
=
，
∴
=
，
∴PQ2=AM•BN．
证明：连接AP，BP，∵AM⊥MN于M，PQ⊥AB于Q．
∴∠AMP=∠PQB=90°，
∵∠1=∠2，
∴△PAM∽△BPQ，
∴
| PQ |
| AM |
| PB |
| PA |
同理可得：
| PB |
| PA |
| BN |
| PQ |
∴
| PQ |
| AM |
| BN |
| PQ |
∴PQ2=AM•BN．
点评：本题考查了和圆有关的比例线段的证明题，可由所要证的比例式找到相似三角形；当要证明的比例式不能直接应用有关定理和相似三角形来证明时，可以考虑等量代换．等量代换通常有等线段代换、等比代换等．
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