Question

如图，已知直线l₁：y=-x+2与直线l₂：y=2x+8相交于点F，l₁、l₂分别交x轴于点E、G，矩形ABCD顶点C、D分别在直线l₁、l₂，顶点A、B都在x轴上，且点B与点G重合。
（1）求点F的坐标和∠GEF的度数；
（2）求矩形ABCD的边DC与BC的长；
（3）若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，矩形ABCD与△GEF重叠部分的面积为s，求s关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。

Answer 1

解：（1）由题意得，
解得x=-2，y=4，
∴F点坐标：（-2，4）；
过F点作直线FM垂直X轴交x轴于M，
ME=MF=4，△MEF是等腰直角三角形，∠GEF=45°；
（2）由图可知G点的坐标为（-4，0），则C点的横坐标为-4，
∵点C在直线l₁上，
∴点C的坐标为（-4，6），
∵由图可知点D与点C的纵坐标相同，且点D在直线l₂上，
∴点D的坐标为（-1，6），
∵由图可知点A与点D的横坐标相同，且点A在x轴上，
∴点A的坐标为（-1，0），
∴DC=|-1-（-4）|=3，BC=6；
（3）∵点E是l₁与x轴的交点，
∴点E的坐标为（2，0），
S_△GFE===12，
若矩形ABCD从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，
当t秒时，移动的距离是1×t=t，
则B点的坐标为（-4+t，0），A点的坐标为（-1+t，0）；
①在运动到t秒，若BC边与l2相交设交点为N，
AD与l₁相交设交点为K，那么-4≤-4+t≤-2，
即0≤t≤2时．N点的坐标为（-4+t，2t），K点的坐标为（-1+t，3-t），
S=S_△GFE-S_△GNB-S_△AEK=12-=，
②在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，
AD与l₁相交设交点为K，那么-2＜-4+t且-1+t≤3，
即2＜t≤4时，N点的坐标为（-4+t，6-t），K点的坐标为（-1+t，3-t），
S=S_梯形BNKA==，
③在运动到t秒，若BC边与l1相交设交点为N，
AD与l₁不相交，那么-4+t≤3且﹣1+t＞3，
即4＜t≤7时，N点的坐标为（-4+t，6-t），
S=S_△BNE==，
答：（1）F点坐标：（-2，4），∠GEF的度数是45°；
（2）矩形ABCD的边DC的长为3，BC的长为6；
（3）s关于t的函数关系式。