Question

在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=5

3

，若关于x的方程（5

3

+b）x²+2ax+（5

3

-b）=0有两个相等的实数根，又方程2x²-（10sinA）x+5sinA=0的两实数根的平方和为6，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）有相等的实数根必须满足△=b²-4ac=0．根据根与系数的关系求出∠A的正弦，运用三角函数及勾股定理求出a，b的长度，从而求出△ABC的面积．

解答：解：∵方程（5

3

+b）x²+2ax+（5

3

-b）=0有相等实数根，
∴△=（2a）²-4（5

3

+b）（5

3

-b）=0．
得a²+b²=75．
∵C²=75，∴a²+b²=c²．
故△ABC是直角三角形，且∠C=90°．                         （2分）
设x₁、x₂是2x²-（10sinA）x+5sinA=0的两实数根，
则x₁+x₂=5sinA，x₁•x₂=

5

2

sinA．
∵x₁²+x₂²=6，而x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂
∴（5sinA）²-5sinA-6=0．
解得sinA=

3

5

，或sinA=-

2

5

（舍去）．                         （5分）
在Rt△ABC中，
C=5

3

，a=c•sinA=3

3

，b=

c2-a2

=4

3

故S_△ABC=

1

2

ab=18．                                        （8分）

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．同时考查了三角函数及勾股定理．