Question

如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°
（1）利用尺规作图，作∠ABC的平分线，交AD于E（保留作图痕迹，不写作法），连接CE；
（2）如果CE⊥BE，∠ABC=58°，且AB=2.9，求BC和DC的长各是多少．（精确到0.1）

Answer 1

分析：（1）尺规作图作∠ABC的平分线比较简单；
（2）作出AE之后，根据梯形的性质可以证明CE也是∠DCB的平分线，从而证明∠CED=90°，然后分别解直角三角形AEB．BEC和△EDC，就可以求出BC，DC了．

解答：解：
（1）如图

（2）如图，在Rt△ABE中，BE=

AB

cos∠ABE

=

2.9

cos29°

≈3.32，
在Rt△BEC中，BC=

BE

cos∠CBE

=

3.32

cos29°

≈3.79≈3.8，
（7分）CE=EBtan∠EBC=3.32•tan29°≈1.84．
在Rt△EDC中，
∵CE⊥BE，
∴∠CED与∠BEA互余，
∴∠DEC=∠ABE=29°，
∴DC=EC•sin∠CED≈1.84•sin29°≈0.89≈0.9．（12分）
（说明：求出∠DEC=29°给（2分）；其它解法酌情相应给分．

点评：考查角平分线的作法；所求线段在直角三角形中时，一般要利用相应的三角函数求解．