Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴的正半轴交于点，顶点为.

（Ⅰ）若，，求此时抛物线顶点的坐标；

（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足

S_△BCE = S_△ABC，求此时直线的解析式；

（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足

S_△BCE = 2S_△AOC，且顶点恰好落在直线上，求此时抛物线的解析式.

Answer 1

解：（Ⅰ）当，时，抛物线的解析式为，即.

∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）．               ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点在对称轴上，有，

∴ 抛物线的解析式为（）．

∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．

∵ 方程的两个根为，，

∴ 此时，抛物线与轴的交点为，．

如图，过点作EF∥CB与轴交于点，连接，则S_△BCE = S_△BCF．

∵ S_△BCE = S_△ABC，

∴ S_△BCF = S_△ABC．

∴ ．

设对称轴与轴交于点，

则．

由EF∥CB，得．

∴ Rt△EDF∽Rt△COB．有．

∴ ．结合题意，解得 ．

∴ 点，．