Question

已知：如图所示，正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A，连接BE、DG．线段BE、DG有怎样的关系？请证明你的结论．

Answer 1

证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，AE=AF，∠EAG=90°，
∵∠EAB=∠DAB+∠EAD，∠GAD=∠EAG+∠EAD，
∴∠EAB=∠GAD，
在△EAB和△GAD中，
，
∴△EAB≌△GAD（SAS），
∴BE=DG，∠EBA=∠GDA，
延长BE，交DG与点H，连结BD，
∵∠DAB=90°，
∴∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠ADB+（∠DBE+∠EBA）=90°，
∴∠ADB+（∠DBE+∠GDA）=90°，
∴∠DHB=90°，
∴BE⊥DG．
分析：根据正方形的性质可得AB=AD，∠DAB=90°，AE=AF，∠EAG=90°，然后求出∠EAB=∠GAD，再利用“边角边”证明△EAB和△GAD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DG，根据全等三角形对应角相等可得∠EBA=∠GDA，延长BE，交DG与点H，连结BD，然后求出∠DHB=90°，根据垂直的定义即可得证．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出全等的三角形然后找出全等的条件是解题的关键．