Question

如图所示，AB是半圆的直径，∠C的两边分别与半圆相切于A、D两点，DE⊥AB，垂足为E，AE=3，BE=1，则图中阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：

分析：本题可设半圆的圆心为O，连接OD，则阴影部分的面积可用梯形ACDE和扇形AOD、△ODE的面积差来求得．已知了AE、BE的长，即可得知圆的直径和半径长．在Rt△ODE中，可根据OD和OE的长，求得∠DOE的度数，即可求得扇形AOD的圆心角，由此可求得△ODE和扇形AOD的面积．下面再求梯形ACDE的面积．关键是求出梯形的下底AC的长，连接AD，不难得出△ACD是个等边三角形，那么可在△ADE中求得AD的长，即可得出AC的长．由此可求出梯形的面积．根据上面分析的阴影部分面积的计算方法即可得出所求的值．

解答：解：设圆的圆心是O，连接OD，OB．根据题意，得：圆的直径是4，则圆的半径是2．
∴OE=BE=1．
在Rt△ODE中，OD=2，OE=1，则∠DOE=60°，DE=

3

；
∴△OBD是等边三角形，∠AOD=120°．
连接AD，则∠ADB=90°．
∴∠DAB=30°，
∴∠DAC=60°；又AC=CD，
∴△ACD是等边三角形．
∴AC=AD=2

3

．
则S_梯形ACD=

9

2

3

，S_扇形AOD=

120π×4

360

=

4

3

π，S_△ODE=

3

2

∴阴影部分的面积是

9 3

2

-

2

2

-

4π

3

=4

3

-

4π

3

，
故答案为：4

3

-

4π

3

．

点评：此题考查了等边三角形的判定和性质以及梯形的面积公式和扇形的面积公式，解题的关键是能够发现等边三角形和30°的直角三角形，熟悉直角梯形、扇形和直角三角形的面积公式．