Question

【题目】如图，在中，点是边上一个动点，过点作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点．

（1）探究与的数量关系并加以证明.

（2）连接，当点在边上运动时，四边形可能为菱形吗？若可能，请证明；若不可能，请说明理由．

（3）连接，当点在上运动到什么位置时，四边形是矩形？请说明理由．

（4）在（3）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），证明见解析；（2）四边形不可能为菱形，理由见解析；（3）当点运动到的中点时，四边形是矩形，理由见解析；（4）当点运动到的中点时，且是以为直角的直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析．

【解析】

（1）根据可得，再根据平分，平分记得得出答案；

（2）根据平分，平分可得∠ECF的度数，再根据菱形的性质即可得出结论；

（3）先证四边形是平行四边形，继而可证其是矩形；

（4）结合（3），再根据，和即可得出结论.

解：（1）．

证明：∵，

∴．

又∵平分，平分，

∴，

∴，

∴．

∴．

（2）四边形不可能为菱形．

理由：设交于点．

∵平分，平分，

∴．

若四边形是菱形，则，在中，不可能存在两个角为90°，

∴四边形BCFE不可能为菱形．

（3）当点运动到的中点时，四边形是矩形.理由：

∵当点运动到的中点时，．

又∵，

∴四边形是平行四边形．

∵，

∴，

∴，

即，四边形是矩形.

（4）当点运动到的中点时，且是以为直角的直角三角形时，

四边形是正方形理由：

由（3）知，当点运动到的中点时，四边形是矩形，

已知，当时，

，

∴，

∴四边形是正方形．