Question

【题目】如图，在矩形中，，点是的中点，点在上，，点在线段上．若是以为顶角的等腰三角形且底角与相等，则____．

Answer 1

【答案】6或者

【解析】

分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，则∠PFM=∠PFN=90°，由矩形的性质得出AB=CD，BC=，∠A=∠C=90°，得出AB=CD=，BD=，证明△PDF∽△BDA，得出，求出PF=，证出CE=2CD，由等腰三角形的性质得出MF=NF，∠PNF=∠DEC，证出△PNF∽△DEC，得出,求出NF=2PF=3，即可得出答案；

②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，由①得：PF=，MF=3，设MN=PN=x，则FN=3-x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

分两种情况：

①MN为等腰△PMN的底边时，作PF⊥MN于F，如图1所示：

则∠PFM=∠PFN=90°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD，BC=，∠A=∠C=90°，

∴AB=CD=，BD=

∵点P是AD的中点，

∴PD=

∵∠PDF=∠BDA，

∴△PDF∽△BDA，

∴ ，即 ，

解得：PF=，

∵CE=2BE，

∴BC=AD=3BE，

∴BE=CD，

∴CE=2CD，

∵△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等，PF⊥MN，

∴MF=NF，∠PNF=∠DEC，

∵∠PFN=∠C=90°，

∴△PNF∽△DEC，

∴

∴MF=NF=2PF=3，

∴MN=2NF=6；

②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图2所示：

由①得：PF=，MF=3，

设MN=PN=x，则FN=3-x，

在Rt△PNF中，

解得：x=

，即MN=；

综上所述，MN的长为6或；

故答案为：6或．