Question

长方形四边的长度都是小于10的整数（单位：厘米），这四个长度数可以构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这个四位数是一个完全平方数，求这个长方形的面积．

Answer 1

分析：此题可设长方形的边长为xcm、ycm，则四位数N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y）=11（99x+x+y）
可证得x+y=11，从而得出9x+1是一个完全平方数，经试算即可解答．

解答：解：设长方形的边长为xcm、ycm，
则四位数N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y）=11（99x+x+y）
∵N是一个完全平方数，11为质数，∴x+y能被11整除，
又∵1≤x≤9，1≤y≤9∴2≤x+y≤18，得x+y=11
∴N=11（99x+x+y）=11²（9x+1）∴9x+1是一个完全平方数，
经试算知当x=7时满足条件，故y=4，从而长方形的面积=7×4=28cm²．

点评：此题主要考查完全平方数的特征，正确列出代数式是解题的关键．