Question

已知抛物线y=x²+bx+c（其中b＞0，c≠0）与y轴的交点为A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B（m，n），且AB=2．
（1）求m、b的值；
（2）如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=

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．求抛物线所对应的函数关系式．（友情提示：请画图思考）

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=x²+bx+c（其中b＞0，c≠0）与y轴的交点为A，即可求得点A的坐标，又由点A关于抛物线对称轴的对称点为B（m，n），且AB=2，即可得抛物线的对称轴方程，又由抛物线y=x²+bx+c的对称轴方程为x=-

b

2

与b＞0，即可求得b与M的值；
（2）由（1）可得：A（0，c），B（-2，c），然后分别从若A在x轴下方与若A在x轴上方去分析，根据勾股定理即可求得c的值，注意抛物线的顶点位于x轴的下方．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c（其中b＞0，c≠0）与y轴的交点为A，
∴点A的坐标为（0，c），
∵点A关于抛物线对称轴的对称点为B（m，n），且AB=2，
∴抛物线y=x²+bx+c的对称轴方程为：x=±1，
∵抛物线y=x²+bx+c的对称轴方程为x=-

b

2

，
∵b＞0，
∴抛物线y=x²+bx+c的对称轴方程为x=-1，
∴b=2，m=-2；

（2）如图：①若A在x轴下方，可得：A（0，c），B（-2，c），
∵BO=

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，AB=2，
∴OA=

OB2-AB2

=4，
∴c=-4，
∴抛物线所对应的函数关系式为：y=x²+2x-4，
②若A在x轴上方，同理可得：c=4，
即抛物线所对应的函数关系式为：y=x²+2x+4，
此时顶点坐标为（-1，3），
∵抛物线的顶点位于x轴的下方，
∴舍去；
∴抛物线所对应的函数关系式为：y=x²+2x-4．

点评：此题考查了二次函数的综合应用．此题难度较大，解题的关键是掌握二次函数的对称性，注意勾股定理的应用，注意数形结合思想的应用．