Question

已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．

（1）求证：CD=AN；
（2）若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．

Answer 1

三角形全等来求证，以及矩形的判定

解析试题分析：证明：（1）∵CN∥AB    ∴∠DAC=∠NCA
在△AMD和△CMN中
∵
∴△AMD≌△CMN（ASA）  ∴AD=CN
又∵AD∥CN       ∴四边形ADCN是平行四边形
∴CD=AN                       5分
（2）∵∠AMD=2∠MCD，∠AMD=∠MCD+∠MDC
∴∠MCD=∠MDC       ∴MD=MC，
由（1）知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD=MN=MA=MC，  ∴AC=DN，
∴四边形ADCN是矩形．                      10分
又由(1)知△ABD∽ΔACE，
所以对应边之比等于1，
所以AB=AC，即三角形ABC为等腰三角形． 10分
考点：全等三角形的性质和判定
点评：解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．