Question

【题目】如图：C、D是以AB为直径的⊙O上的点，，弦CD交AB于点E.

（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；

（2）求证：BC2－CE2＝CE·DE.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，∠ADB=90°，根据三角形的内角和有∠BAD＋∠ABD=90°.根据PB是⊙O的切线，得到∠ABP=90°，得到∠PBD＋∠ABD=90°，根据同角的余角相等即可证明.

（2）根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ABC=∠BDC，而∠ECB=∠BCD，即可证明△BCE∽△DCB，根据相似三角形的性质得到BC2=CE·CD，BC2－CE2=CE·CD－CE2

=CE(CD－CE)=CE·DE.即可证明.

（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即∠BAD＋∠ABD=90°.

∵PB是⊙O的切线，

∴∠ABP=90°，即∠PBD＋∠ABD=90°，

∴∠BAD=∠PBD.

（2）∵=,

∴∠ABC=∠BDC，而∠ECB=∠BCD，

∴△BCE∽△DCB，

∴BC2=CE·CD，

∴BC2－CE2=CE·CD－CE2=CE(CD－CE)=CE·DE.