Question

若关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有两个实数根x₁，x₂.

（1）求实数k的取值范围.

（2）是否存在实数k使得x₁•x₂-x₁²-x₂²≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式Δ≥0，据此列出关于k的不等式［-（2k+1）］²-4（k²+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；

（2）假设存在实数k使得x₁•x₂--≥0成立，利用根与系数的关系可以求得x₁+x₂=2k+1，x₁•x₂=k²+2k，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式3x₁•x₂-（x₁+x₂）²≥0，通过解不等式可以求得k的值.  

解：（1）∵ 原方程有两个实数根，

∴ ［-（2k+1）］²-4（k²+2k）≥0，∴ 4k²+4k+1-4k²-8k≥0，∴ 1-4k≥0，∴ k≤.

∴ 当k≤时，原方程有两个实数根.

（2）假设存在实数k使得x₁•x₂--≥0成立．

∵ x₁，x₂是原方程的两根，

∴ x₁+x₂=2k+1,x₁•x₂=k²+2k.

由x₁•x₂--≥0，   

得3x₁•x₂-（x₁+x₂）²≥0.

∴ 3（k²+2k）-（2k+1）²≥0，整理得-（k-1）²≥0，

∴ 只有当k=1时，上式才能成立.

又由（1）知k≤，

∴ 不存在实数k使得x₁•x₂--≥0成立.