题目内容
已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．（1）①折叠后的
所在圆的圆心为O′时，求O′A的长度；②如图2，当折叠后的
经过圆心为O时，求
的长度；③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离；
（2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．
①如图4，当AB∥CD，折叠后的
与
所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d，求d的值；②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的
与
所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．
【答案】分析：（1）①折叠后的
所在圆O′与⊙O是等圆，可得O′A的长度；
②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到
的圆心角，再根据弧长公式计算即可；
③如图3，连接O′A、O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求
所在圆的圆心O′到弦AB的距离；
（2）①如图4，
与
所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交
于于点E，交
于点F，根据折叠的性质，可求点O到AB、CD的距离之和；
②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证．
解答：
解：（1）①折叠后的
所在圆O′与⊙O是等圆，
∴O′A=OA=2；
②当
经过圆O时，折叠后的
所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连接O′A、OA、O′B，OB，OO′
∵△OO′A△OO′B为等边三角形，
∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°
∴
=
=
；
③如图3所示，连接OA，OB，
∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB为等边三角形，过点O作OE⊥AB于点E，
∴OE=OA•sin60°=
．
（2）①如图4，当折叠后的
与
所在圆外切于点P时，
过点O作EF⊥AB交AB于点H、交
于点E，交CD于点G、交
于点F，
即点E、H、P、O、G、F在直径EF上，
∵AB∥CD，
∴EF垂直平分AB和CD，
根据折叠的性质，可知PH=
PE，PG=
PF，
又∵EF=4，
∴点O到AB、CD的距离之和d为：
d=PH+PG=
PE+
PF=
（PE+PF）=2，
②如图5，当AB与CD不平行时，
四边形PNOM是平行四边形．证明如下：
设折叠后的
所在圆的圆心为O′，折叠后的
所在圆的圆心为O″，
∵点O′与点O关于AB对称，点O″与点O关于CD对称，
∴O′M=OM，ON=O″N，
∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点
∵折叠后的
与
所在圆外切，
∴连心线O′O″必过切点P，
∵折叠后的
与
所在圆与⊙O是等圆，
∴O′P=O″P=2，
∴PM=
OO″=ON，
同理：PN=OM，
∴四边形OMPN是平行四边形．
点评：综合考查了相切两圆的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，翻折变换（折叠问题），解直角三角形，综合性较强，难度较大．
所在圆O′与⊙O是等圆，可得O′A的长度；②如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA、OB、AE、BE，可得△OAE、△OBE为等边三角形，从而得到
的圆心角，再根据弧长公式计算即可；③如图3，连接O′A、O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求
所在圆的圆心O′到弦AB的距离；（2）①如图4，
与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交于于点E，交于点F，根据折叠的性质，可求点O到AB、CD的距离之和；②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得证．
解答：
解：（1）①折叠后的所在圆O′与⊙O是等圆，∴O′A=OA=2；
②当
经过圆O时，折叠后的所在圆O′在⊙O上，如图2所示，连接O′A、OA、O′B，OB，OO′∵△OO′A△OO′B为等边三角形，
∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°
∴
==；③如图3所示，连接OA，OB，∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB为等边三角形，过点O作OE⊥AB于点E，
∴OE=OA•sin60°=
．（2）①如图4，当折叠后的
与所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交AB于点H、交
于点E，交CD于点G、交于点F，即点E、H、P、O、G、F在直径EF上，
∵AB∥CD，
∴EF垂直平分AB和CD，根据折叠的性质，可知PH=
PE，PG=PF，又∵EF=4，
∴点O到AB、CD的距离之和d为：
d=PH+PG=
PE+PF=（PE+PF）=2，②如图5，当AB与CD不平行时，
四边形PNOM是平行四边形．证明如下：
设折叠后的
所在圆的圆心为O′，折叠后的所在圆的圆心为O″，∵点O′与点O关于AB对称，点O″与点O关于CD对称，∴O′M=OM，ON=O″N，
∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点
∵折叠后的
与所在圆外切，∴连心线O′O″必过切点P，
∵折叠后的
与所在圆与⊙O是等圆，∴O′P=O″P=2，
∴PM=
OO″=ON，同理：PN=OM，
∴四边形OMPN是平行四边形．
点评：综合考查了相切两圆的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，翻折变换（折叠问题），解直角三角形，综合性较强，难度较大．
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