Question

已知：如图，四边形ABCD是正方形，BD是对角线，BE平分∠DBC交DC于E点，交DF于M，F是BC延长线上一点，且CE=CF．

（1）求证：BM⊥DF；

（2）若正方形ABCD的边长为2，求ME?MB．

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析    （2）4﹣2

【解析】

试题分析：（1）证明：在△BCE和△DCF中，

∵，

∴△BCE≌△DCF（SAS），

∴∠EBC=∠FDC（全等三角形的对应边相等），即∠EBC=∠EDM，

在△BCE和△DME中，

∵，

∴△BCE∽△DME，

∴∠BCE=∠DME=90°（相似三角形的对应角相等），即BM⊥DF；

（2）解：∵BC=2，

∴BD=2．

又∵BE平分∠DBC交DF于M，BM⊥DF，

∴BD=BF（等腰三角形“三合一”的性质），DM=FM，

∴CF=2﹣2．

在△BMF和△DME中，

∠MBF=∠MDE，∠BMF=∠DME=90°，

∴△BMF∽△DME，

∴=，

∴=，即ME?MB=MD²，

∵DC²+FC²=（2DM）²，即2²+（2﹣2）²=4DM²，

∴DM²=4﹣2，即ME?MB=4﹣2．

考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质．

点评：本题综合考查了全等三角形、正方形、相似三角形的有关知识．等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．