Question

已知：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒2cm的速度移动，同时，点Q从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动（当点Q到达点A时，点P与点Q同时停止移动），PQ交BD于点E．假设点P移动的时间为x（秒），△BPE的面积为y（cm²）．
（1）求证：在点P、Q的移动过程中，线段BE的长度保持不变；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果CE=CP，求x的值．

Answer 1

分析：（1）由DQ∥BP，根据平行线分线段成比例定理，即可得

BE

DE

=

BP

DQ

．然后由勾股定理即可求得BE的长，即可得在点P和点Q的移动过程中，线段BE的长度保持不变；
（2）首先作EH⊥BC，垂足为点H，得EH∥CD．即可得

EH

DC

=

BE

BD

=

2

3

，继而求得y关于x的函数解析式；
（3）由EH∥CD，可得

CH

BC

=

DE

BD

=

1

3

，则可求得CH与CE的长，再分别从当点P在线段BC上时与当点P在线段BC的延长线上时去分析求解即可求得答案．

解答：（1）证明：∵DQ∥BP，
∴

BE

DE

=

BP

DQ

．（1分）
∵BP=2x，DQ=x，
∴

BE

DE

=2．
∴BE=

2

3

BD．（1分）
∵∠A=90°，AB=6，AD=9，
∴BD=3

13

．（1分）
∴BE=2

13

，
即在点P和点Q的移动过程中，线段BE的长度保持不变．（1分）

（2）解：作EH⊥BC，垂足为点H，得EH∥CD．
∴

EH

DC

=

BE

BD

=

2

3

．（1分）
∴EH=4．（1分）
∴y=

1

2

•2x•4，
即所求的函数解析式为y=4x．（1分）
定义域为0＜x≤9．（1分）

（3）∵EH∥CD，
∴

CH

BC

=

DE

BD

=

1

3

．
∴CH=3．（1分）
∴CE=5．（1分）
（i）当点P在线段BC上时，9-2x=5．解得x=2．（1分）
（ii）当点P在线段BC的延长线上时，2x-9=5．解得x=7．（1分）

点评：此题考查了平行线分线段成比例定理，一次函数的应用以及一元一次方程的解法等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．