Question

如图，已知抛物线y=ax²+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，﹣1）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△ACP相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+c过A（﹣1，0）和C（0，﹣1）
∴，解得
∴y=x²
（2）令y=0，x²﹣1=0，
解得x₁=1，x₂=﹣1
∴B（1，0）
∵A（﹣1，0），C（0，﹣1）
∴OA=OB=OC=1，
∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，
∴∠PAB=45°过点P作PE⊥x轴于E，
则△APE为等腰直角三角形

令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1）
∵点P在抛物线y=x²﹣1上，
∴a+1=a²﹣1解得a₁=2，a₂=﹣1（不符合题意）
∴PE=3
∴四边形ACBP的面积S=ABOC+ABPE=×2×1+×2×3=4；
（3）假设存在
∵∠PAB=∠BAC=45°，
∴PA⊥AC．
∵MG⊥x轴于点G，
∴∠MGA=∠PAC=90°．
在Rt△AOC中，OA=OC=1
∴AC=．在Rt△PAE中，AE=PE=3
∴AP=3设M点的横坐标为m，则M （m，m²﹣1）①点M在y轴左侧时，则m＜﹣1

（ⅰ） 当△AMG∽△PCA时，有
∵AG=﹣m﹣1，MG=m²﹣1即
解得m₁=﹣1（舍去） m₂=（舍去）
（ⅱ） 当△MAG∽△PCA时有
即
解得：m₁=﹣1（舍去），m₂=﹣2
∴M（﹣2，3）
②点M在y轴右侧时，则m＞1

（ⅰ） 当△AMG∽△PCA时有
∵AG=m+1，MG=m²﹣1
∴
解得m₁=﹣1（舍去） m₂=
∴M（，）
（ⅱ） 当△MAG∽△PCA时有
即
解得：m₁=﹣1（舍去），m₂=4，
∴M（4，15），
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似
M点的坐标为（﹣2，3），（，），（4，15）．