Question

如图，已知△ABC中，∠CAB、∠ABC的外角平分线相交于点D．
（1）当∠C=90°时，∠D=

45°

；
（2）当∠C=120°时，∠D=

30°

；
（3）当∠C=70°时，∠D=

55°

；
（4）请写出∠C与∠D的关系式

∠D=90°-

1

2

∠C．

，不必说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的内角和定理，得∠ABC+∠ABC=180°-90°=106°；再根据邻补角的定义，得两个角的邻补角的和是360°-90°=270°；再根据角平分线的定义，最后根据三角形的内角和定理，得∠D=45°；
（2）解题思路和（1）相同；
（3）解题思路和（1）相同；
（4）根据（1）和（2）和（3）的规律即可得到∠C与∠D的关系式．

解答：解：（1）∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠ABC=180°-90°=90°，
∴∠D=180°-

1

2

（360°-90°）=45°；
（2）由（1）可知∠D=180°-

1

2

（360°-60°）=30°；
（3）由（1）可知∠D=180°-

1

2

（360°-110°）=55°；
（4）根据（1）和（2）和（3）的概率即可得到∠C与∠D的关系式是∠D=90°-

1

2

∠C．

点评：此题综合运用了三角形的内角和定理以及角平分线定义．注意此题中可以总结结论：三角形的相邻两个外角的角平分线所成的锐角等于90°减去第三个内角的一半．