题目内容

如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°．若AB=2，则CD的长为

A.
$数学公式$
B.
2
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：设BE=x，则AE=AB-BE=2-x过C作CE⊥AB，过A作AF⊥DC，利用四边形的内角和求出∠DCA的度数，进而求出∠FCA=30°，∠CAE=30°，∠DAF=105°-30°-30°=60°，再利用直角三角形的性质和锐角三角形函数以及勾股定理即可求出CD的长．
解答：

解：设BE=x，则AE=AB-BE=2-x
过C作CE⊥AB，过A作AF⊥DC，
∴∠DFA=∠CEA=90°，
∵∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，
∴∠DCA=360°-105°-105°-45°-45°=60°，
∴∠FCA=30°，
∵∠ACB=105°，∠B=45°，
∴∠ACE=105°-45°=60°，
∴∠CAE=30°，
∴∠DAF=105°-30°-30°=60°，
∵AB=2，
∴CE=BE=x，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴x= $\text{[math]}$ -1，
∴AC=2x=2 $\text{[math]}$ -2，
∴AF= $\text{[math]}$ =3- $\text{[math]}$ ，
∵∠D=∠DAF=45°，
∴AF=DF=3- $\text{[math]}$ ，
∴DC=CF+DF= $\text{[math]}$ -1+3- $\text{[math]}$ =2，
故选B．
点评：本题考查了四边形的内角和、三角形的内角和、含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半以及勾股定理的运用．