Question

如图，在△ABC，，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且。

（1）求证：直线BF是⊙O的切线；

（2）若，，求BC和BF的长。

Answer 1

  (1) 证明：连结AE. ∵ AB是圆O的直径，

           ∴ ÐAEB=90°.∴Ð1+Ð2=90°.

           ∵ AB=AC, ∴ Ð1=ÐCAB. ∵ÐCBF=ÐCAB.

           ∴ Ð1=ÐCBF，∴ ÐCBF+Ð2=90°.

           ∵ 即ÐABF=90°. ∵ AB是圆O的直径，

           ∴ 直线BF是圆O的切线。

 

 (2) [解] 过点C作CG^AB于点G，∵ sinÐCBF=，Ð1=ÐCBF，∴ sinÐ1=，

         ∵ ÐAEB=90°,AB=5, ∴BE=AB·sinÐ1=,

         ∵ AB=AC，ÐAEB=90°, ∴ BC=2BE=2,

         在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2,

         ∴ sinÐ2=，cosÐ2=，

         在Rt△CBG中，可求得GC=4,GB=2。

         ∴ AG=3， ∵ GC // BF，∴ △AGC ~ △ABF. ∴，∴ BF==.