Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，且O点在BC边上，则图中阴影部分面积S_阴=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   5-π
4. D.
   -

Answer 1

D
分析：首先连接OD，OE，设⊙O与BC交于M、N两点，易得四边形ADOE是正方形，即可得∠DOM+∠EON=90°，然后设OE=x，由△COE∽△CBA，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值，继而由S_阴影=S_△ABC-S_{正方形ADOE}-（S_扇形DOM+S_扇形EON）求得答案．
解答：解：连接OD，OE，设⊙O与BC交于M、N两点，
∵以O为圆心的半圆分别与AB、AC边相切于D、E两点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
即∠ADO=∠AEO=90°，
∵在Rt△ABC中，∠A=90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ADOE是正方形，
∴∠DOE=90°，
∴∠DOM+∠EON=90°，
设OE=x，则AE=AD=OD=x，EC=AC-AE=4-x，
∵△COE∽△CBA，
∴，
即，
解得：x=，
∴S_阴影=S_△ABC-S_{正方形ADOE}-（S_扇形DOM+S_扇形EON）
=×3×4-（）²-
=-．
故选D．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、正方形的判定与性质以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．