Question

如图，正方形ABCO的边长为4，D为OC边的中点，将△DCB沿直线BD对折，C点落在M处，BM的延长线交OA于点E,OA，OC分别在x轴和y轴的正半轴上.

（1）求线段OE的长；

（2）求经过D,E两点，对称轴为直线x=2的抛物线的解析式；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使四边形P、E、D、B为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

1）解：∵四边形ABCO为正方形，D为OC的中点，

         ∴OA=AB=BC=CO=4，OD=DC=2,

           ∠BCO=COA=∠OAB=90°

         ∵△BCD与△BMD关于BD对称，

          ∴△BCD≌△BMD

           ∴∠DMB=∠BCD=90°,DM=DC=DO=2

             ∠CDB=∠MDB

             ∵DE=DE

        ∴Rt△DOE≌Rt△DME

           ∴∠ODE=∠MDE

           ∴∠ODE+∠BCD=180°÷2=90°

          而∠BCD+∠CBD=90°

              ∴∠ODE=∠CBD

            ∴Rt△CBD∽Rt△ODE

            ∴

            ∴     

    (2)有（1）知，D(0,2),E(1,0),设过D,E两点，对称轴为直线的抛物线的解析式为：，得

             解之得 

           ∴      

    （3）存在点P，使以P、E、D、B为顶点的四边形是梯形，分三种情况讨论：

          ①当PE∥BD，PE≠BD时，四边形PEDB是梯形.

              设直线PE交轴于点F，易证Rt△DEO∽Rt△EOF

            可得，OF=,∴F(0，)

      过E,F两点，用待定系数法可求直线PE 的解析式为：

         当，此时P点的坐标为（2，） 

        ②当PD∥BE,PD≠BE时，四边形PDEB为梯形.

             设直线PD交轴于点G

∵PD∥DE，∴∠GDE=∠DEB

∵∠DEG=∠DEB  ∴∠GDE=∠DEG

∴GD=GE,设OG=，在Rt△DGO中，

,OD=2，OE=1，

易求 ，∴G(-)

过D,G两点用待定系数法可求直线PD 的解析式为:

当，此时点P的坐标是（2，）；

        ③当PB∥DE,PB≠DE时，四边形PDEB为梯形.

             设直线PD交轴于点H,

 ∵PB∥DE，∴∠DEB=∠EBH, ∠DEO=∠BH0,

∵∠DEO=∠DEB, ∴∠EBH=∠EHB,

∴EB=EH,

在Rt△ABE中，AE=AO-OE=4-1=3，AB=4，

    ∴BE=5=EH,  ∴OH=OE+EH=1+5=6

∴H(6,0)

过B,H两点用待定系数法可求直线PD 的解析式为:

当，此时点P的坐标是（2，8）；

综上所述，符合条件的点P有三个，

其坐标分别为（2，），（2，），（2，8）.