Question

在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，等边三角形OAB的一个顶点为A（2，0），另一个顶点B在第一象限内。

（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；

（2）如果一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形，那么我们称这样的四边形为“筝形”。点Q在（1）的抛物线上，且以O、A、B、Q为顶点的四边形是“筝形，求点Q的坐标；

（3）设△OAB的外接圆⊙M，试判断（2）中的点Q与⊙M的位置关系，并通过计算说明理由。

Answer 1

解：过B作BC⊥x轴于C.

∵ 等边三角形的一个顶点为，

∴ OB=OA=2，AC=OC=1，∠BOC=60°.

∴ BC=.

∴ B       ……………..1分

设经过O、A、B三点的抛物线的

解析式为：.

将A（2，0）代入得：，

解得.

∴经过O、A、B三点的抛物线的解析式为

.

即.   …………………..2分

（2）依题意分为三种情况：

（ⅰ） 当以OA、OB为边时，

∵ OA=OB，

∴ 过O作OQ⊥AB交抛物线于Q.

则四边形OAQB是筝形，且∠QOA=30°.

     作QD⊥轴于D，QD=OD,

设Q，则.

解得：.

∴Q.                           …………..2分

（ⅱ） 当以OA、AB为边时，由对称性可知Q .    …………..1分

（ⅲ） 当以OB、AB为边时，抛物线上不存在这样的点Q使BOQA为筝形.……..1分

∴Q或.

（3）点Q在内.

由等边三角形性质可知的外接圆圆心是（2）中BC与OQ的交点，

当Q时，

∵MC∥QD,

∴△OMC∽△OQD.

∴.

∴.

∴ .

∴ =.

又,

∵<,

∴Q在⊙M内.                               ……………..2分

当Q时，由对称性可知点Q在⊙M内.

综述，点Q在⊙M内.                                 ……………..1分