Question

如图，矩形ABCD中，∠DBC的角分线与CD交于K，点P在射线BK上，过点P作直线AB、AD的垂线，垂足为E、F，与直线BD交于M、N两点．
（1）如图1，若AD：AB=1：2，点P在线段BK上时，求证：DM=5ME+DN；
（2）若AD：AB=1：2，点P在射线BK上时，（1）问中的结论是否成立，若成立给予证明；若不成立，请你直接写出结论；
（3）若AD=3，AB=4，当EM+FN=MN时，求EM的长．

Answer 1

分析：（1）易证△BEM∽△MNP∽△ABD，则三个三角形的三边的比都是1：2：

5

，然后利用等角对等边可以证得BM=MP即可证得结论；
（2）与（1）相同，可以得到BM=MP=

5

ME，MN=

5

MP=5ME，则MD、ME、DN的关系即可写出；
（3）与（1）相同，则△BEM∽△MNP∽△ABD，根据勾股定理可以得到每个三角形的三边的比是：3：4：5，利用EM分别表示出MN，NF的长，根据EM+FN=MN即可列出关于EM的方程，从而求解．

解答：（1）证明：∵直角△ABD中，AD：AB=1：2，
∴AD：AB：BD=1：2：

5

，
∵AB∥FN
∴△BEM∽△MNP∽△ABD，
∴BM=

5

ME，MN=

5

MP=5ME
∵BK平分∠DBC，
∴∠NBP=∠CBK，
又∵PE∥BC
∴∠CBK=∠BPM，
∴∠BPM=∠NBP，
∴BM=MP=

5

ME，
∴DM=MN+DN=5ME+DN；

（2）证明：如图2所示：
同（1）可得：BM=MP=

5

ME，MN=

5

MP=5ME，
∵DM=MN-DN
∴DM=5ME-DN；

（3）解：∵直角△ABD中，AD=3，AB=4，
∴BD=

AD2+AB2

=5，
同（1）可证：△BEM∽△MNP∽△ABD，则每个三角形的三边的比是：3：4：5．
当P在线段BK上时，如图3，
则BM=MP=

5

3

EM，MN=

5

3

MP=

25

9

EM，
∴FD=AD-AF=AD-EM-MP=3-EM-

5

3

EM=AD-

8

3

EM=3-

8

3

EM，
∴NF=

4

3

FD=4-

32

9

EM，
∵EM+FN=MN，
∴EM+（4-

32

9

EM）=

25

9

EM，
解得：EM=

3

4

；
当F在点P在BK的延长线上时，如图4．
同理可得：BM=MP=

5

3

EM，MN=

5

3

MP=

25

9

EM，
FD=AF-AD=EM+MP-AD=EM+

5

3

EM-AD=

8

3

EM-AD=

8

3

EM-3，
∵EM+FN=MN，
∴EM+（

32

9

EM-4）=

25

9

EM，
解得：EM=

9

4

．
故：EM=

3

4

或

9

4

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解△BEM∽△MNP∽△ABD，三角形中三边的比值，从而利用一边表示另外的边是关键．