题目内容

如图，在直角坐标系中，⊙O的圆心O在坐标原点，直径AB=8，点P是直径AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P的直线PQ的解析式为y=x+m，当直线PQ交y轴于Q，交⊙O于C、D两点时，过点C作CE垂直于x轴交⊙O于点E，过点E作EG垂直于y轴，垂足为G，过点C作CF垂直于y轴，垂足为F，连接DE．
（1）点P在运动过程中，sin∠CPB=________；
（2）当m=3时，试求矩形CEGF的面积；
（3）当P在运动过程中，探索PD²+PC²的值是否会发生变化？如果发生变化，请你说明理由；如果不发生变化，请你求出这个不变的值；
（4）如果点P在射线AB上运动，当△PDE的面积为4时，请你求出CD的长度．

解：（1）∵过点P的直线PQ的解析式为y=x+m，
∴图象与x轴交点坐标的为：（-m，0），图象与y轴交点坐标的为：（0，m），
∴QO=PO，∠POQ=90°，
∴∠CPB=45°，
则sin∠CPB= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ；

（2）∵∠CPB=45°，
∴∠CQF=∠PQO=45°，

∴FC=FQ，
设FC=FQ=a，
则OF=a+3，
如图1，连接OC，
在Rt△OCF中，FC²+OF²=OC²?a²+（a+3）²=4²?2a²+6a=7，
∴S_{四边形CEGF}=CF×2FO=a×2（a+3）=7；

（3）不变．
∵AB垂直平分CE，
∴PC=PE，且∠CPB=∠EPH=45°，
∴PE⊥CD，
∴PD²+PC²=PD²+PE²=DE²，
∵∠PCH=45°，
∴ $\text{[math]}$ =90°，
∴DO⊥EO，
∴DE= $\text{[math]}$ OD=4 $\text{[math]}$ ，
∴PD²+PC²=32；

（4）当点P在直径AB上时，S_△PDE= $\text{[math]}$ PD×PE= $\text{[math]}$ PD×PC=4，PD×PC=8，

又∵PD²+PC²=32，
∴CD²=（PD+PC）²=32+16=48，CD=4 $\text{[math]}$ ，
如图2，当点P在AB延长线上，
同理可得：CD²=（PD-PC）²=32-16=16，
开方得：CD=4．
综上，CD的长为 $\text{[math]}$ 或4．
分析：（1）利用图象与x，y轴交点坐标得出QO=PO，从而得出∠CPB的度数，计算出sin∠CPB的值即可；
（2）利用勾股定理求出CF，FO的长度，求出矩形CEGF的面积即可；
（3）根据PC²+PD²=PD²+PE²=DE²，得出即可；
（4）分别从当点P在直径AB上时，以及当点P在线段AB的延长线上时得出CD与CM的长度关系，进而求出即可．
点评：此题主要考查了圆的综合题，三角形的面积以及平方差公式应用以及一次函数的综合应用，要注意的是（4）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．