Question

30、如图，直线DE经过⊙O上的点C，并且OE=OD，EC=DC，⊙O交直线OD于A、B两点，连接BC，AC，OC．求证：
（1）OC⊥DE；
（2）△ACD∽△CBD．

Answer 1

分析：（1）△ODE是等腰三角形，要证OC⊥DE，只要根据等腰三角形的三线合一定理，转化为证明C是底边DE上的中点即可．
（2）要证明△ACD∽△CBD只要求证∠DCA=∠B和∠ADC=∠CDB就可以．

解答：证明：（1）∵OE=OD，
∴△ODE是等腰三角形．（1分）
∵EC=DC，
∴C是底边DE上的中点．
∴OC⊥DE．（3分）

（2）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠B+∠BAC=90°．（4分）
∵∠DCA+∠ACO=90°，∠ACO=∠BAC，
∴∠DCA=∠B．
∵∠ADC=∠CDB，（5分）
∴△ACD∽△CBD．（6分）

点评：本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理，以及相似三角形的判定方法，可以证明两个角对应相等．