Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于（x₁，0）、（x₂，0）两点，且0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，与轴y交于点（0，-2）．下列结论：①2a+b＞1；②3a+b＞0；③a-b＜2；④a＜-1．其中正确结论的个数为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer 1

【答案】分析：首先根据抛物线的开口方向判断出a的符号，再根据与y轴交点求出c=-2，
①将x=2代入原方程，可知此时y＜0，再根据c=-2即可求出2a+b＜1；
②根据0＜x₁＜1，1＜x₂＜2判断出1＜x₁+x₂＜3，再根据x₁+x₂=-，判断出1＜-＜3，可知3a+b＜0；
③将x=-1代入y=a-b+c＜0，结合c=-2，可知a-b＜-c，即得a-b＜2；
④根据0＜x₁x₂＜2和x₁x₂=＜2，求出c=-2，可判断a＜-1．
解答：解：如图：
0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，并且图象与y轴相交于点（0，-2），
可知该抛物线开口向下即a＜0，c=-2，
①当x=2时，y=4a+2b+c＜0，即4a+2b＜-c；
∵c=-2，
∴4a+2b＜2，
∴2a+b＜1，
故本选项错误；
②∵0＜x₁＜1，1＜x₂＜2，
∴1＜x₁+x₂＜3，
又∵x₁+x₂=-，
∴1＜-＜3，
∴3a+b＜0，
故本选项错误；
③当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∵c=-2，
∴a-b＜-c，
即a-b＜2，
故本选项正确；
④∵0＜x₁x₂＜2，x₁x₂=＜2，
又∵c=-2，
∴a＜-1．
故本选项正确．
故选C．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数图象与系数的关系，根据图象找到所需的条件，同时利用根与系数的关系及不等式的性质是解题的基本思路．