Question

探究：在图甲中，已知点E、F分别为线段AB、CD的中点．
①若A（-1，0），B（3，0），则E点的坐标为________；
②若C（-2，+2），D（-2，-1），点则F点坐标为________．
归纳：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点为A（a，b），B（c，d），AB中点坐标为（x，y）时，x=________，y=________．（用含a，b，c，d的代数式表示，不必证明）
运用：在图乙中，一次函数与反比例函数的图象交点为A（-1，-3），B（3，1）．
①此一次函数和反比例函数的解析式分别为________；
②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．

Answer 1

（1，0）    （-2，）            y=x-2，y=
分析：探究：①利用图形可确定E点坐标为（1，0）；②利用图形可确定线段CD的中点F的坐标；
运用利用线段中点坐标公式求解；
归纳：①运用待定系数法求两函数的解析式；
②分类讨论：当以AB为对角线时，四边形OAPB为平行四边形，对角线交与点Q，根据平行四边形的性质得到Q为AB的中点，Q点为PO的中点，先利用归纳中的结论由A、B坐标确定Q点坐标，然后由点O与Q点坐标确定P点坐标；同理可确定当OB和OA为对角线时对应的P点坐标．
解答：探究：①点E的横坐标为=1，纵坐标为，则E点坐标为（1，0）；
②F点的横坐标为=-2，纵坐标为=，则F点的坐标为（-2，）；
归纳：x=，y=；
运用：①设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-1，-3），B（3，1）代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y=x-2；
设反比例函数解析式为y=，
把A（-1，-3）代入得t=-1×（-3）=3，
所以反比例函数解析式为y=；
②当以AB为对角线时，四边形OAPB为平行四边形，对角线交与点Q，
∴Q为AB的中点，Q点为PO的中点，
∴Q点坐标为（，），即Q（1，-1），
设P点坐标为（m，n），则=1，=-1，解得m=2，n=-2，
∴P点坐标为（2，-2）；
同理可得当以OB为对角线时，四边形OABP为平行四边形，此时P点坐标为（4，4）；当以OA为对角线时，四边形OPAB为平行四边形，此时P点坐标为（-4，-4），
∴满足条件的P点坐标为（2，-2）或（4，4）或（-4，-4）．
故答案为（1，0）；（-2，）；，；y=x-2，y=．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求函数解析式、平时四边形的判定与性质．