Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．

(1)求证：PB是⊙O的切线；

 (2)已知PA=，BC=1，求⊙O的半径．

 

Answer 1

 (1)证明：连结OB．

 ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．

 ∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA．

 ∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，即∠PAO=∠PBO………………………2分

又∵PA是⊙O的切线，∴∠PAO=90°，

  ∴∠PBO=90°，∴OB⊥PB．………………………………………………4分

又∵OB是⊙O半径，∴PB是⊙O的切线．……………………………………5分

(2)解：连结OP，交AB于点D．

∵PA=PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．

∵OA=OB，∴点O在线段AB的垂直平分线上．

∴OP垂直平分线段AB．…………………………………………………………7分

∴∠PAO=∠PDA=90°．

又∵∠APO=∠DPA，∴△APO∽△DPA．

∴，∴AP²=PO·DP．   

又∵OD=BC=，∴ PO(PO-OD)=AP²

即：PO ²一PO=()²，解得PO=2． ………………………………9分

在Rt△APO中，OA= =1，即⊙O 的半径为l…………10分