题目内容
【题目】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC， 
，AD=6，BC=8， 
，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒(t＞0)．
（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．
（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．
（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．
【答案】
（1）解：y=2t
（2）解：当BP=1时，有两种情形：
①如图6，若点P从点M向点B运动，有MB= 
=4，MP=MQ=3，
∴PQ=6．连接EM，
∵△EPQ是等边三角形，∴EM⊥PQ．∴ 
．
∵AB= 
，∴点E在AD上．
∴△EPQ与梯形ABCD重叠部分就是△EPQ，其面积为 
．
②若点P从点B向点M运动，由题意得 
．
PQ=BM+MQ 
BP=8，PC=7．设PE与AD交于点F，QE与AD或AD的
延长线交于点G，过点P作PH⊥AD于点H，则
HP= ，AH=1．在Rt△HPF中，∠HPF=30°，
∴HF=3，PF=6．∴FG=FE=2．又∵FD=2，
∴点G与点D重合，如图7．
此时△EPQ与梯形ABCD的重叠部分就是梯形FPCG，其面积为 
（3）解：能．4≤t≤5
【解析】（1）用t的代数式表示PQ的长，即两点的路程之和；（2）BP=1可分为两种情况：P从点M向点B运动；点P从点B向点M运，重叠部分的面积是三角形或梯形；（3）4秒时，P、Q两点分别到达B、C，此时重叠部分覆盖AD 的长度最大，随着P点的返回，PQ长度保持不变，这时EQ与AD的交点G到D的距离为1，因此再过1秒，G与D重合，再向右运动时，PQ长度变短，因此t的范围为4≤t≤5.
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