Question

已知：矩形ABCD中，E为AB的中点，过E点的直线分别交AD和CB的延长线于F、H，AC交FH于G
求证：（1）△AEF≌△BEH；
（2）HB•GH=HC•FG．

Answer 1

分析：（1）由E是BC的中点得到AE=BE，由矩形ABCD得到∠FAE=∠EBH=90°，而∠AEF和∠BEH是对顶角，由此即可证明；
（2）由矩形ABCD得到AD∥BC，然后利用平行线的性质得到△AFG∽△CHG，接着利用相似三角形的性质得

AF

CH

=

FG

HG

，根据（1）得到AF=BH，由此即可证明HB•GH=HC•FG．

解答：证明：（1）∵E是BC的中点，
∴AE=BE（1分），
∵矩形ABCD，
∴∠FAE=∠EBH=90°，（1分）
∵∠AEF=∠BEH，
∴△AEF≌△BEH（3分）；

（2）∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，
∴△AFG∽△CHG（1分），
∴

AF

CH

=

FG

HG

（2分），
∵△AEF≌△BEH，
∴AF=BH（1分），
∴HB•GH=HC•FG．（1分）

点评：此题分别考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及矩形的性质，解题时首先利用矩形的性质证明三角形全等，然后利用平行线的性质证明三角形相似，最后利用相似三角形、全等三角形的性质解决问题．