题目内容

已知如图，二次函数y=ax²+2ax-3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y=

3

3

x+

3

对称．
（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；
（2）求二次函数解析式；
（3）设点s是三角形ABH上的一动点，从点A沿着AHB方向以每秒1个单位长度移动，运动时间为t秒，到达点B时停止运动．当t为何值时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．
（4）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．

分析：（1）求出方程ax²+2ax-3a=0（a≠0），即可得到A点坐标和B点坐标；把A的坐标代入直线l即可判断A是否在直线上；
（2）根据点H、B关于过A点的直线l：y=

3

3

x+

3

对称，得出AH=AB=4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，求出AC和HC的长，得出顶点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；
（3）首先判定△ABH是等边三角形，进而构造直角三角形得出t的值即可；
（4）得出直线AH，BK的解析式，得到方程组

y=

3

3

x+

3

y=

3

x-

3

，即可求出K的坐标，根据点H、B关于直线AK对称，得出HN+MN的最小值是MB，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，得到BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，由勾股定理得QB=8，即可得出答案．

解答：解：（1）依题意，得ax²+2ax-3a=0（a≠0），
即x²+2x-3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∵B点在A点右侧，
∴A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），
答：A、B两点坐标分别是（-3，0），（1，0）．

∵直线l：y=

3

3

x+

3

，
当x=-3时，y=

3

3

×（-3）+

3

=0，

∴点A在直线l上．

（2）∵点H、B关于过A点的直线l：y=

3

3

x+

3

对称，
∴AH=AB=4，
如图1，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，
则AC=

1

2

AB=2，HC=2

3

，
∴顶点H（-1，2

3

），
代入二次函数解析式，解得a=-

3

2

，
∴二次函数解析式为y=-

3

2

x²-

3

x+

3

3

2

，
答：二次函数解析式为y=-

3

2

x²-

3

x+

3

3

2

，

（3）∵A点坐标为（-3，0），点H（-1，2

3

），
∴AH=

22+(2

3

)2

=4，
∵B点坐标为（1，0），点H（-1，2

3

），
∴BH=

22+(2

3

)2

=4，
∵A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），
∴AB=4，即AB=AH=BH=4，
∴△ABH是等边三角形，
如图2，过点S作SC⊥AB于点C，过点S₁作S₁E⊥AB于点E，
设当t秒时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．
则AS=t，AC=

1

2

t，SC=

3

2

t，

此时SC=CO，
即

3

2

t=3-

1

2

t，
解得：t=3（

3

-1），
同理可得：S₁B=AH+HB-t=8-t，BE=

8-t

2

，S₁E=

3

(8-t)

2

，
当EO=S₁E，
即1-

8-t

2

=

3

(8-t)

2

，
解得：t=9-

3

，
故当t=3（

3

-1）或t=9-

3

时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．

（4）∵A点坐标为（-3，0），点H（-1，2

3

），
∴将两点代入解析式y=kx+b，
得出

-3k+b=0

-k+b=2

3

，
解得：

k=

3

b=3

3

，
故直线AH的解析式为y=

3

x+3

3

，
∵直线BK∥AH交直线l于K点，
∴直线BK的解析式为：y=

3

x+b，
将B点坐标代入求出，
直线BK的解析式为：y=

3

x-

3

，
由

y=

3

3

x+

3

y=

3

x-

3

，
解得

x=3

y=2

3

，
即K（3，2

3

），

则BK=4，
∵点H、B关于直线AK对称，K（3，2

3

），
∴HN+MN的最小值是MB，KD=KE=2

3

，
如图3，过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，KD=KE=2

3

，
则QM=MK，QE=EK=2

3

，AE⊥QK，
∴BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值，
∵BK∥AH，
∴∠BKQ=∠HEQ=90°，
由勾股定理得QB=8，
∴HN+NM+MK的最小值为8，
答：HN+NM+MK和的最小值是8．

点评：本题主要考查了对勾股定理，解二元一次方程组，二次函数与一元二次方程，二次函数与X轴的交点，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性比较强的题目，有一定的难度．

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