Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是劣弧BC的中点，过点P作⊙O的切线交AB延长线于点D．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求DP的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接AP，易证得AP是直径，然后过点A作AM⊥BC于点M，可得A，M，O，P四点共线，则可证得DP∥BC；
（2）在Rt△AMB中，由垂径定理即可求得BM的长，由勾股定理即可求得AM的长，继而求得∠BAM的正切值，然后由勾股定理得到方程r²=（8-r）²+6²，继而求得答案．

解答：（1）证明：连接AP，
∵AB=AC，
∴

AB

=

AC

，
又∵P是劣弧BC的中点，
∴

BP

=

CP

，…（1分）
∴

ABP

=

ACP

，
∴AP为⊙O的直径，
又∵DP为⊙O的切线，
∴AP⊥DP，…（2分）
过点A作AM⊥BC于点M，
∴M为BC中点，
∴AM必过圆心O，
即：A，M，O，P四点共线，
∴DP∥BC．…（3分）

（2）∵在Rt△AMB中，BM=

1

2

BC=

1

2

×12=6，
∴AM=

AB2-BM2

=

102-62

=8，
∴tan∠BAM=

BM

AM

=

3

4

，
在Rt△OMB中，设OB=r，
则由勾股定理得：r²=（8-r）²+6²，
解得：r=

25

4

，
∴AP=

25

2

，…（5分）
在Rt△APD中，DP=AP•tan∠DAP=

25

2

×

3

4

=

75

8

．…（6分）

点评：此题考查了切线的性质、勾股定理、垂径定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．