Question

如图点P是矩形ABCD的边AD上的任一点，AB=8，BC=15，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是

 

．

Answer 1

分析：由矩形ABCD可得：S_△AOD=

1

4

S_矩形ABCD，又由AB=8，BC=15，可求得AC的长，则可求得OA与OD的长，又由S_△AOD=S_△APO+S_△DPO=

1

2

OA•PE+

1

2

OD•PF，代入数值即可求得结果．

解答：解：过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BD与F，连接OP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD，∠ABC=90°，
S_△AOD=

1

4

S_矩形ABCD，
∴OA=OD=

1

2

AC，
∵AB=8，BC=15，
∴AC=

AB2+BC2

=

289

=17，S_△AOD=

1

4

S_矩形ABCD=30，
∴OA=OD=

17

2

，
∴S_△AOD=S_△APO+S_△DPO=

1

2

OA•PE+

1

2

OD•PF=

1

2

OA•（PE+PF）=

1

2

×

17

2

（PE+PF）=30，
∴PE+PF=

120

17

．
∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是

120

17

．
故答案为：

120

17

．

点评：此题考查了矩形的性质．解此题的关键是将△AOD的面积用矩形求得，再用△APO与△POD的面积和表示出来．还要注意数形结合思想的应用．