Question

如图，已知抛物线与关于y轴对称，与y轴交于点M，与x轴交于点A和B．

（1）求出的解析式，试猜想出与一般形式抛物线关于y轴对称的二次函数解析式（不要求证明）．

（2）若A，B的中点是点C，求sin∠CMB．

（3）如果过点M的一条直线与图象相交于另一点N（a，b），ab且满足a²-a+q=0，b²-b+q=0（q为常数），求点N的坐标．

 

Answer 1

解：（1）的顶点为（-3，-4），

即的顶点的为（3，-4），

即， 

与y轴的交点M（0，5），

即与y轴的交点M（0，5）．

即a=1，所求二次函数为

猜想：与一般形式抛物线关于y

轴对称的二次函数解析式是．

 

（2）过点C作CD⊥BM于D．

抛物线与x轴的交点A（1，0），

B（5，0），与y轴交点M（0，5），AB中点C

（3，0）；故△MOB，△BCD是等腰直角三角形，

CD，BC=2．  在Rt△MOC中，MC＝．

则sin∠CMB＝．

（3）设过点M（0，5）的直线为y=kx+5

解得

则a=k+6，b=k²+6x+5．

由已知a，b是方程x²-x+9=0的两个根，

故a＋b＝1．(k+6)+(k²+6k+5)=1，

化k²+7k+10=0，则k₁=-2，k₂=-5．

点N的坐标是（4，-3）或（1，0）．