Question

（1）如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE；

（2）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH=2，AB=12，BO=13
求：①⊙O的半径；②AC的值．

Answer 1

分析：（1）首先由AD=AE，可证得∠ADE=∠AED，那么它们的补角也相等，即∠ADB=∠AEC，同理可得∠B=∠C，结合已知的相等线段即可证得△ABD≌△ACE，由此得解．
（2）①根据切线的性质可得△AOB是直角三角形，由勾股定理可求得OA的长，即⊙O的半径；
②在Rt△OAH中，由勾股定理可得AH的值，进而由垂径定理求得AC的长．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）；（1分）
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴180°-∠ADE=180°-∠AED，
即∠ADB=∠AEC；（2分）
在△ABD和△ACE中，

∠ADB=∠AEC ∠B=∠C AB=AC

，
∴△ABD≌△ACE（AAS）；
∴BD=CE．（3分）

（2）解：①∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，（1分）
在Rt△AOB中，
AO=

OB2-AB2

=

132-122

=5，（2分）
∴⊙O的半径为5；
②∵OH⊥AC，
∴在Rt△AOH中，
AH=

AO2-OH2

=

52-22

=

21

，（3分）
又∵OH⊥AC，
∴AC=2AH=2

21

．（4分）

点评：此题考查的知识点有：切线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及垂径定理的综合运用等知识，需要特别注意的是：（1）题中，SSA不能作为判定三角形全等的依据．