Question

如图，已知直线分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的圆M与直线AB相切于点D，连结MD.

(1)求证：∽;                             

(2)如果圆M的半径为，请求出点M的坐标，并写出以为顶点，且过点M的抛物线的解析式;

(3)在（2）的条件下，试问此抛物线上是否存在点P，使得以P、A、M三点为顶点的三角形与相似，如果存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，如果不存在，请说明理由。

 

Answer 1

 

（1）略

（2）

（3）见解析

解析:（1）略

（2）A（0，12），B（6，0），AB＝6

由△ADM∽△AOB得：

即

∴AM＝10

∴M（0，2）

抛物线解析式为：

（3）由题已知：△PAM与△ADM相似

①当∠PAM＝90°时，此时△PAM与△ADM不相似，这样的点P不存在

②当∠P₁MA＝90°时，则点P纵坐标为2，由得

（舍），此时△PAM∽△BAO，P₁（－5，2）

③过点M作MP₂∥AB交抛物线于P₂，则P₂（－4，10），此时∠AP₂M＝90°，

△AP₂M∽△MDA

作点D关于轴对称点P3，其坐标为：（－4，4），此时△AP3M∽△ADM，但点P₃不在一抛物线上

故P（－4，10），（－5，2）