Question

【题目】如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF的最大值；

（3）点D为抛物线对称轴上一点．

①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；

②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4；（2）PE+EF的最大值为；（3）①符合条件的点D的坐标是（，）或（，﹣）；②点D的纵坐标的取值范围为＜y＜或﹣＜y＜．

【解析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；

（2）易得BC的解析式为y=﹣x+4，先证明△ECF为等腰直角三角形，作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图1，则△EPG为等腰直角三角形，PE=PG，设P（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜3），则G（t，﹣t+3），接着利用t表示PF、PE，所以PE+EF=2PE+PF=﹣t2+5t，然后利用二次函数的性质解决问题；

（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x=﹣点D的纵坐标的取值范围；

②由于△BCD是以BC为斜边的直角三角形有4+（y﹣3）2+1+y2=18，解得y1=，y2=，得到此时D点坐标为（，）或（，），然后结合图形可确定△BCD是锐角三角形时点D的纵坐标的取值范围．

（1）把B（4，0），C（0，4）代入y=x2+bx+c，得

，

解得 ，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4；

（2）由B（4，0），C（0，4），根据待定系数法易得BC的解析式为y=﹣x+4，

∵直线y=x+m与直线y=x平行，

∴直线y=﹣x+4与直线y=x+m垂直，

∴∠CEF=90°，

∴△ECF为等腰直角三角形，

作PH⊥y轴于H，PG∥y轴交BC于G，如图1，△EPG为等腰直角三角形，PE=PG，

设P（t，t2﹣5t+4）（1＜t＜4），则G（t，﹣t+4），

∴PF=PH=t，PG=﹣t+4﹣（t2﹣5t+4）=﹣t2+4t，

∴PE=PG=﹣t2+2t，

∴PE+EF=PE+PE+PF=2PE+PF=﹣t2+4t+t=﹣t2+5t=﹣（t﹣）2+，

当t=时，PE+EF的最大值为；

（3）①如图2，抛物线的对称轴为直线x=，

设D（，y），则BC2=42+42=32，DC2=（）2+（y﹣4）2，BD2=（4﹣）2+y2=+y2，

当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，BC2+DC2=BD2，

即32+（）2+（y﹣4）2=+y2，解得y=5，此时D点坐标为（，）；

当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，BC2+DB2=DC2，

即32++y2=（）2+（y﹣4）2，解得y=﹣1，此时D点坐标为（，﹣）；

综上所述，符合条件的点D的坐标是（，）或（，﹣）；

②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时，DC2+DB2=BC2，即（）2+（y﹣4）2++y2=32，解得y1=，y2=，此时D点坐标为（，）或（，），

所以△BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为＜y＜或﹣＜y＜．