Question

证明：无论a取任何实数值时，抛物线y=x2+(a+1)x+

1

2

a+

1

4

是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上．

Answer 1

分析：将抛物线解析式按照含a的项和不含a的项整理，令含a的项系数为0，可求此时x、y的值，即定点坐标；将抛物线解析式整理为顶点式，可确定顶点坐标，令顶点横坐标为x，纵坐标为y，消去a，可得出x、y的关系式，判断关系式为抛物线解析式即可．

解答：证明：y=x2+(a+1)x+

1

2

a+

1

4

=x2+x+

1

4

+a(x+

1

2

)=(x+

1

2

)2+a(x+

1

2

)，
当x=-

1

2

时，a(x+

1

2

)=0，y=0，
即无论a取任何实数时，已知抛物线总通过点M(-

1

2

，0)，
又y=x2+(a+1)x+

1

2

a+

1

4

=(x+

a+1

2

)2-

1

4

a2，
故抛物线的顶点坐标为(-

a+1

2

，-

1

4

a2)，
即

x=- a+1 2 y=- 1 4 a2

，消去a得，
y=-(x+

1

2

)2，
这条曲线是一条抛物线，即原抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上．

点评：本题考查了抛物线上定点坐标的求法，顶点坐标的求法及顶点坐标满足的关系式，需要灵活掌握．