Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A(－4，0)、B(2，0)，点C在y轴的正半轴上，且三角形ABC的面积为．

（1）求点C的坐标．

（2）过O点作OD平行于AC交CB于点D，问：x轴上是否存在一点P，使S△PBD＝？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若∠ACO＝30°，射线CA绕C点以每秒3°的速度逆时针旋转到CA′，射线OB绕O点以每秒10°的速度逆时针旋转到OB′．当OB转动一周时两者都停止运动．若两射线同时开始运动，在旋转过程中，经过多长时间，CA′∥OB′？

Answer 1

【答案】（1）C（0，）（2）（-7,0）或（11,0）（3）s或s

【解析】

（1）根据三角形的面积公式即可求解；

（2）先得到直线AC与BC的解析式，再根据平行得到OD解析式，再联立解得D点坐标，再根据S△PBD＝即可求出P点坐标，

（3）设旋转的时间为t，根据平行线的性质及角度的旋转即可得到一元一次方程，即可求解.

（1）∵A(－4，0)、B(2，0)

∴AB=6,

∵S△ABC=AB×OC=

∴OC=

∴C（0，）

（2）∵A(－4，0)、C（0，）

设直线AC解析式为y=kx+b（k≠0）

代入得解得

∴直线AC解析式为y=x+4，

∵AC∥OD，∴OD解析式为y=x

又B（2,0），可求得直线BC的解析式为y=-2x+4

联立y=x与y=-2x+4

解得x=,y=

过D点作DF⊥x轴，∴DF=

∵S△PBD＝

∴BP×DF=，即BP×=，

BP=9，又B（2,0）

∴P点坐标为（-7,0）或（11,0）

（3）设旋转的时间为t，

∵每秒10°的速度逆时针旋转到OB′．当OB转动一周时两者都停止运动

∴10t≤360，则t≤36

依题意可得3x-30°=10x-90°或30-2x=90°-10x-180°

解得x=，x=

故经过s或s，CA′∥OB′.