Question

已知点E在△ABC内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．
（1）当α=60°时（如图1），
①判断△ABC的形状，并说明理由；
②求证：BD=

3

AE；
（2）当α=90°时（如图2），求

BD

AE

的值．

Answer 1

分析：①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在直角三角形中很容易证得结论．（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．

解答：解：（1）①判断：△ABC是等边三角形．
理由：∵∠ABC=∠ACB=60°
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°=∠ABC=∠ACB
∴△ABC是等边三角形
②证明：同理△EBD也是等边三角形
连接DC，
则AB=BC，BE=BD，∠ABE=60°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE≌△CBD
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB=150°
∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-60°=30°
在Rt△EDC中

CD

ED

=tan30°=

3

3

，
∴

AE

BD

=

3

3

，即BD=

3

AE．

（2）连接DC，
∵∠ABC=∠EBD=90°，∠ACB=∠EDB=60°
∴△ABC∽△EBD
∴

AB

EB

=

BC

BD

，即

AB

BC

=

EB

BD

又∵∠ABE=90°-∠EBC=∠CBD
∴△ABE∽△CBD，∠AEB=∠CDB=150°，

AE

CD

=

BE

BD

∴∠EDC=150°-∠BDE=90°∠CED=∠BEC-∠BED=90°-（90°-∠BDE）=60°
设BD=x在Rt△EBD中DE=2x，BE=

3

x
在Rt△EDC中CD=DE•tan60°=2

3

x
∴AE=

CD•BE

BD

=

2 3 x• 3 x

x

=6x=6BD，即

BD

AE

=

1

6

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质，①中知道三角形中有两个60°角即证，②利用①的结论并证得△ABE≌△CBD，在Rt△EDC中很容易证得，（2）连接DC，证得△ABC∽△EBD，设BD=x在Rt△EBD中DE=2x由相似比即得到比值．