Question

已知关于x的方程

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x2-(m-2)x+m2=0．
（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出方程的根；
（2）设方程的两根为x₁，x₂．是否存在正数m，使得x₁²+x₂²=224？若存在请求出满足条件的m的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题意得△=0，即(m-2)2-4×

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×m2=0，
-4m+4=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为

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x2+x+1=0
解得x₁=x₂=-2．

（2）不存在．
假设存在正数m使得x₁²+x₂²=224，
则由韦达定理得x₁+x₂=4m-8，x₁x₂=4m²，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（4m-8）²-8m²=224，
即：m²-8m-20=0，
解得m₁=10，m₂=-2（舍去）
∵△=(m-2)2-4×

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×m2=-4m+4＞0，
∴m＜1
∴m₁=10也不符合题意，应舍去．
故不存在正数m使得方程两根满足x₁²+x₂²=224．