Question

【题目】如图，在 RtABC 中，ACB 90 ，点 E 为 AB 中点，经过 A 、C 、E 三点的⊙O 与 BC的延长线相交于点 D ，过点 D 的直线交 AB 的延长线于点 F ，且FDB CED 。

（1）求证： DF 为⊙O 的切线；

（2）若 AE ，CD 1，求 DF ；

（3）若 BF mBE ，求sin BAC （用含 m 的代数式表示）.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连接AD，由圆周角定理可得到∠CED=∠CAD,进而证得∠CAD=∠FDB, ∠ADF=90°，所以得到DF 为⊙O 的切线；

（2）先证得AD=BD，再设BC=x，则BD=1+x=AD,根据勾股定理列出解得x=3, AD=4,再求得，再证得∠ADE=∠F并根据它们的正切值相等列出方程，即可求出DF；

（3）设BE=a,则BF=ma,AE=a,AF=(m+2)a,EF=（m+1）a，由射影定理可证，，，再证得∠ADE=∠BDE=∠BAC=∠F，则

（1）连接AD

∵∠ACD=90°，

∴∠CAD+∠ADC=90°，AD是直径.

∵∠CED=∠CAD, ∠CED=∠FDB,

∴∠CAD=∠FDB,

∴∠ADC+∠FDB=90°，即∠ADF=90°，

∴DF 为⊙O 的切线；

(2) ∵∠ACD=90°，

∴AD是直径，

∴DE⊥AB,

∵点 E 为 AB 中点,

∴DE是AB的中垂线，

∴AD=BD

设BC=x，则BD=1+x=AD,

在Rt△ABC中，

Rt△ACD中，

∴

解得（舍去），

∴AD=4

在Rt△ADE中，,

由已知易证∠ADE=∠F

∴

∴

(3)设BE=a,则BF=ma,

AE=a,AF=(m+2)a,EF=（m+1）a

在Rt△ADF中，由射影定理可证

∵∠ADF=90°，DE垂直平分AB, ∠ACD=90°，

∴∠ADE=∠BDE=∠BAC=∠F,

∴