Question

（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：

旋钮角度（度）	20	50	70	80	90
所用燃气量（升）	73	67	83	97	115

（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？
（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．

Answer 1

分析：（1）先假设函数为一次函数，任选两点求出函数解析式，再将各点代入验证；再假设函数为二次函数，任选三求出函数解析式，再将各点代入验证
（2）将（1）所求二次函数解析式，化为顶点式，转化为二次函数最值的问题，即可解答．
（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50，再设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，据此解答即可．

解答：解：（1）若设y=kx+b（k≠0），
由

73=20k+b 67=50k+b

，
解得

k=- 1 5 b=77

，
所以y=-

1

5

x+77，把x=70代入得y=63≠83，所以不符合；
若设y=

k

x

（k≠0），由73=

k

20

，解得k=1460，
所以y=

1460

x

，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合；
若设y=ax²+bx+c，
则由

73=400a+20b+c 67=2500a+50b+c 83=4900a+70b+c

，
解得

a= 1 50 b=- 8 5 c=97

，
所以y=

1

50

x²-

8

5

x+97（18≤x≤90），
把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意．
所以二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律；

（2）由（1）得：y=

1

50

x²-

8

5

x+97=

1

50

（x-40）²+65，
所以当x=40时，y取得最小值65．
即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升；

（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50（升）
设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，则由题意得：

50

115

a=10，
解得a=23（立方米），
即该家庭以前每月平均用气量为23立方米．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数求最值等问题，综合性较强，需要有较高的思维能力，关键是探索出函数的解析式．