Question

【题目】在中，，在的外部作等边三角形，为的中点，连接并延长交于点，连接．

(1)如图1，若，求的度数；

(2)如图2，的平分线交于点，交于点，连接．

①补全图2；

②若，求证：．

Answer 1

【答案】(1)=20°；(2)①补图见解析；②证明见解析．

【解析】

（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF=∠ADF-∠ADB计算即可；（2）①根据要求画出图形即可；②设∠ACM=∠BCM=，由AB=AC，推出∠ABC=∠ACB=2，可得∠NAC=∠NCA=，∠DAN=60°+，由△ABN≌△AND（SSS），推出∠ABN=∠AND=30°，∠BAN=∠DAN=60°+，∠BAC=60°+2，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，构建方程求出，再证明∠MNB=∠MBN即可解决问题；

(1)如图1中，

在等边三角形中，

，．

∴∠BAD=100°+60°=160°，

∵为的中点，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴ （180°-160°）=10°，

∴．

(2)①补全图形，如图所示．

②证明：连接．

∵平分，

∴设，

∵，

∴．在等边三角形中，

∵为的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，

在和中，

∴，

∴，，

∴，

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．