Question

如图，已知反比例函数的图象经过点A（3，4）． 点B（6，0）为x轴正半轴上一点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）在x轴上求一点C，使△ACB是以AB为底边的等腰三角形；
（3）P（x，y）为反比例函数的图象位于第一象限上的一个动点．令△OPB的面积为S，写出S与x的函数解析式及定义域．

Answer 1

解：（1）∵反比例函数的图象经过点A（3，4），
∴k=xy=3×4=12，
∴反比例函数解析式为y=；

（2）∵在x轴上求一点C，使△ACB是以AB为底边的等腰三角形，
∴作AB的垂直平分线，交AB于D，交x轴于点C，
∵A（3，4），B（6，0），
∴D（，），
即：D（4.5，2），
设A、B所在直线解析式为y=kx+b（k≠0），
，
解得，
∴A、B所在直线解析式为y=-x+8，
∵CD⊥AB，
∴设C、D所在直线解析式为y=x+a，
∵D（4.5，2），
∴×4.5+a=2，
解得：a=-，
∴C、D所在直线解析式为y=x-，
当y=0时，0=x-，
解得：x=，
∴C（，0）；

（3）∵P（x，y）为反比例函数y=的图象位于第一象限上的一个动点，
∴△OPB的面积S=×BO×y=6×y=3y=3×=（x＞0）．
分析：（1）利用待定系数法把点A的坐标代入反比例函数解析式即可算出k的值，进而得到反比例函数解析式；
（2）作AB的垂直平分线，交AB于D，交x轴于点C，根据A、B两点坐标算出AB所在直线解析式为y=-x+8和D点坐标，根据两个一次函数图象互相垂直时，k的积为-1可设C、D所在直线解析式y=x+a，再代入D点坐标即可算出C、D所在直线解析式，然后计算出一次函数与x轴的交点即可；
（3）根据三角形的面积公式进行计算即可．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合运用，关键是计算出AB的直线解析式，掌握两个一次函数图象互相垂直时，k的积为-1．