Question

已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.

（1）如图①，若，，求的长（结果保留根号）；

（2）如图②，若为的中点，求证：直线是⊙的切线.

 

Answer 1

解：（1）∵AB是⊙O的直径，AP是切线，

∴∠BAP=90°．

在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，

∴BP=2AB=2×2=4．

由勾股定理，得．   （5分）

（2）如图，连接OC、AC．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA=90°，又∵∠ACP=180°﹣∠BCA=90°．

在Rt△APC中，D为AP的中点，

∴．

∴∠4=∠3．

又∵OC=OA，

∴∠1=∠2．

∵∠2+∠4=∠PAB=90°，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．

即OC⊥CD．

∴直线CD是⊙O的切线．                                     （8分）