Question

【题目】矩形ABCD中，AB=3，BC=4．点P在线段AB或线段AD上，点Q中线段BC上，沿直线PQ将矩形折叠，点B的对应点是点E．

（1）如图1，点P、点E在线段AD上，点Q在线段BC上，连接BP、EQ．

①求证：四边形PBQE是菱形．

②四边形PBQE是菱形时，AP的取值范围是　　．

（2）如图2，点P在线段AB上，点Q在线段AD上，点E在线段AD上，若AE=，求折痕PQ的长．

（3）点P在线段AB，AP=2，点Q在线段BC上，连AE、CE．请直接写出四边形AECD的面积的最小值是　　．

Answer 1

【答案】（1）①见解析;②0≤AP≤ ；（ 2）；（3）7.5．

【解析】

（1）①先根据所给条件证明△POE≌△QOB，进而证明四边形PEBQ是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形四边形是菱形来证明四边形PEBQ是菱形；②考虑AP最小值和最大值时P点的位置，当点P与点A重合时，AP最小，当点E和点D重合时，AP最大，由勾股定理求出最大值；（2）连接PE，EQ，过点Q作QF⊥AD于F，由折叠知，PB=PE，∠PEQ=∠B=90°，再设AP的长为x，根据勾股定理列方程求解，得到AP和PE的长，然后根据两个角相等证明△APE∽△FEQ，进而求出EQ的值，再根据勾股定理求出PQ；（3）如图3，连接AC，根据勾股定理求出AC的值，再连接PE，过点E作EG⊥AC于G，可得S四边形AECD=S△ACD+S△ACE=6+EG，∴EG最小时，四边形AECD的面积最小，确定EG最小时的情况，求出EG的最小值，即可得到四边形AECD的最小值.

解（1）①由折叠知，PB=PE，PQ垂直平分BE，

∴OB=OE，

∵∠POE=∠BOQ，∠EPO=∠OQB，

∴△POE≌△QOB，

∴PE=BQ，

∵AD∥BC，

∴四边形PBQE是平行四边形，

∵PB=PE，

∴PBQE是菱形；

②当点P与点A重合时，AP=0，

当点E和点D重合时，DP=BP=4﹣AP，

在Rt△ABP中，BP2﹣AP2=AB2，

∴（4﹣AP）2﹣AP2=9，

∴AP=，

∴0≤AP≤，

故答案为：0≤AP≤；

（2）如图2，连接PE，EQ，过点Q作QF⊥AD于F，

由折叠知，PB=PE，∠PEQ=∠B=90°，

设AP=x，

∴PB=PE=3﹣x，

根据勾股定理得，x2+5=（3﹣x）2，

∴x=，∴AP=，PE=，

∵∠AEP+∠PEQ=90°，∠AEP+∠APE=90°，

∴∠FEQ=∠APE，

∵∠EFQ=∠A=90°，

∴△APE∽△FEQ，

∴＝，

∴＝，

∴EQ=,

∴PQ==;

（3）如图3，

连接AC，在Rt△ACD中，AD=4，CD=3，

∴AC=5，

连接PE，过点E作EG⊥AC于G，

∴S四边形AECD=S△ACD+S△ACE

=ADCD+ACEG

=×4×3+×5EG

=6+EG，

∴EG最小时，四边形AECD的面积最小，

由折叠知，PB=PE，

∴点E是以点P为圆心，PB=1为半径的一段弧上，

∴点P，E，G在同一条线上时，EG最小，

∵∠AGP=∠ABC=90°，∠PAG=∠CAB，

∴△PAG∽△CAB，

∴＝，

∴PG= ==，

∴EG最小=PG﹣PE=﹣1=，

∴S四边形AECD最小=6+EG最小=6+×=7.5，

故答案为：7.5．